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이재율(02-882-0830)
신규 중등학교 교육내용 6 가지
1. 공식의 유도
1-1. 유도과정
X^n+Y^n=Z^n
위 식에서 X, Y, Z 는 자연수로 간주한다.
Y+A=X+B=Z
따라서 A, B 도 자연수가 된다.
A=Z-Y, B=Z-X
그러므로
X-A=Y-B=Z-A-B=X+Y-Z
위 식의 각 변들을 (AB)^(1/n) 으로 나눈다.
(X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n)=(Z-A-B)/(AB)^(1/n)=X+Y-Z/(AB)^(1/n)
다음과 같이 G 를 정한다.
G=(X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n)=(Z-A-B)/(AB)^(1/n)=X+Y-Z/(AB)^(1/n)
그러므로
X=G(AB)^(1/n)+A, Y=G(AB)^(1/n)+B, Z=G(AB)^(1/n)+A+B
따라서
X+Y-Z=G(AB) ^(1/n)
{G(AB)^(1/n)+A}^n+{G(AB)^(1/n)+B}^n={G(AB)^(1/n)+A+B}^n
1-2. n=1 인 경우 G=0 이 되고, n=2 인 경우 G=+-2^(1/2) 이 된다.
2. 완벽한 피타고라스 수 산출
2-1. 신규 공식
X=(2AB)^(1/2)+A, Y=(2AB)^(1/2)+B, Z=(2AB)^(1/2)+A+B
2-1-1. A=Z-Y, B=Z-X
2-1-2. X-A=Y-B=Z-A-B=X+Y-Z=(2AB)^(1/2) 을 자연수로 하는 X, Y, Z 는 모든 피타고라스 수를 나타내는 것이 된다.
2-2. 기존 3 가지 공식
X=2A+1, Y=2A^2+2A, Z=2A^2+2A+1
X=4A, Y=4A^2-1, Z=4A^2+1
X=A^2-B^2, Y=2AB, Z=A^2+B^2
2-2-1. 공식의 유도 과정 없음.
2-2-2. A, B 를 X, Y, Z 로 나타내는 식이 불확실함.
2-2-3. 어떤 피타고라스 수 X, Y, Z 를 위하여, 무리수 A, B 가 필요함.
2-2-4. 어떤 피타고라스 수 X, Y, Z 를 위하여, X, Y 를 바꾼 식이 필요함.
3. n 이 3 이상인 경우에 항상 무리수가 됨
3-1. n 개의 G=F(A,B) 중에서, 양의 실수는 한 개 뿐임.
X^n+Y^n=Z^n
A=Z-Y, B=Z-X
{G(AB)^(1/n)+A}^n+{G(AB)^(1/n)+B}^n={G(AB)^(1/n)+A+B}^n
A, B 는 자연수임으로, 위 식의 해로서,
n 개의 G=F(A,B) 중에서, 양의 실수는 한 개며, (n-1) 개는 양의 실수가 아니다.
3-2. A=B 경우 양의 무리수 G=F(A)=F(B)={2^(n-1/n)+…+2^(2/n)+2^(1/n)}A^(n-2/n)
{G(AB)^(1/n)+A}^n+{G(AB)^(1/n)+B}^n={G(AB)^(1/n)+A+B}^n
위 식에서 A=B 인 경우에는
2{G+A^(n-2/n)}^n={G+2A^(n-2/n)}^n
(n-1) 개의 G=F(A) 는 양의 무리수가 되지 못하고,
한 개의 G=F(A) 는 아래와 같은 양의 무리수가 된다.
G=F(A)={2^(n-1/n)+…+2^(2/n)+2^(1/n)}A^(n-2/n)
3-3. G=F(A,B) 와 무리수 G(AB)^(1/n)=F(A,B)(AB)^(1/n)
2{2^(n-1/n)+…+2^(2/n)+2^(1/n)}{A^(n-2/n)+B^(n-2/n)} 로 G=F(A,B) 를 나누고 곱한다.
그러므로
q=2F(A,B)/{2^(n-1/n)+…+2^(2/n)+2^(1/n)}{A^(n-2/n)+B^(n-2/n)}
G=q[{2^(n-1/n)+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2]{A^(n-2/n)+B^(n-2/n)}
A=B 경우 q 는 항상 1 이 되어야만 한다.
따라서
q=2(X+Y-Z)/{2^(n-1/n)+…+2^(2/n)+2^(1/n)}[{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)}]
X+Y-Z=G(AB)^(1/n)=q[{2^(n-1/n)+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)}]
X+Y-Z=G(AB)^(1/n) 이 항상 무리수가 되어야만 하는 것이다.
4. 바둑판모양무늬 2색 구분과 벌집모양무늬 3색 구분
정4각형 바둑판 모양무늬가 2색으로 구분이 되는 것은, 임의의 한 정4각형의 선분에 접하는 4개의 정4각형이 1가지 색으로 구분되기 때문이며, 정6각형 벌집 모양무늬가 3색으로 구분이 되는 것은 임의의 한 정6각형의 선분에 접하는 6개의 정6각형이 2가지 색으로 구분되기 때문인 것이다.
5. 한점에 접하는 모든 도형들 3색 구분
나라들의 모양, 크기, 수와 상호 간에 점이나 국경선의 공유 여부에 제한 없이 나라들을 그리되, 이 모든 나라들이 반드시 임의의 한 점에 접하도록, 즉 모든 나라들의 국경선들이 반드시 임의의 한 점을 지나도록 그려 본다. 이 때 이 모든 나라들은 3가지 이하의 색으로 충분하게 구분이 되는 것이다. 왜냐하면, 이 모든 나라들 중에서 임의의 한 나라를 선정하면, 나머지의 나라들은 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하는 나라들과 국경선에 점으로만 접하는 나라들로 분별될 수가 있다. 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 나라들은 외부에서 이 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 나라들로서 2가지 색으로 충분하게 구분이 되기 때문인 것이다.
이상의 내용을 정리한다. 한 점에 접하고 있는 모든 나라들 중에서 임의의 한 나라에 A색을 칠하면, 이 임의 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 외부 나라들은 B색과 C색으로 구분이 된다. 마찬가지로 B색이 칠하여진 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 외부 나라들은 C색과 A색으로 구분이 된다. 그리고 C색이 칠하여진 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 외부 나라들은 A색과 B색으로 구분이 되는 것이다. 이와 같이 임의의 한 점에 접하는 모든 나라들은 3가지 색으로 충분하게 구분이 되는 것이다.
6. 바다와 모든 나라들 4색 구분
지도상 수많은 나라들 중에서 임의의 한 나라를 선정하게 되면, 이 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 외부 나라들의 국경선들이 이 선정된 임의 나라의 국경선과 접하고 있음으로, 이 선정된 임의 나라의 국경선에는 많은 점들이 나타난다. 이 모든 점들과 선정된 임의 나라의 내부에 정한 임의의 한 점을 보조선들로 연결하여 본다. 이와 같이 보조선들을 연장하여 만들어진 새로운 나라들은 한 점에 접하는 나라들이 되어, 3가지 색으로 충분하게 구분이 된다. 따라서 임의의 한 나라의 국경선 일부를 공유하고 있는 모든 외부 나라들도, 한 점에 접하고 있는 모든 나라들과 마찬가지로 3가지 색으로 충분하게 구분이 되는 것이다.
지도상 수많은 나라들 중에서 임의의 한 나라를 선정하여 A색을 칠할 경우에, 이 선정된 임의 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 B색, C색, D색으로 충분하게 구분이 된다. 이 때 B색을 칠한 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 C색, D색, A색으로 충분하게 구분이 된다. 마찬가지로 C색을 칠한 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 D색, A색, B색으로 충분하게 구분이 된다. 그리고 D색을 칠한 나라의 국경선 일부를 공유하는 모든 외부 나라들은 전술한 바와 같이 A색, B색, C색으로 충분하게 구분이 된다. 이상과 같이 반복될 수가 있음으로서 지도상 모든 나라들은 4가지 이하의 색으로 충분하게 구분이 되는 것이다.